Table of contents

• 极限
  • 实数
    • 自然数和整数
    • 无限集合
    • 有理数

极限

实数

自然数和整数

自然数是指集合 $\mathbb{N} = \{ 1, 2, 3, \cdots \}$, 满足以下性质：

1. 可以进行加法与减法运算;

2. 有序;

3. 满足归纳公理.

归纳公理是指若 $S \subset \mathbb{N}$ 满足: $$\begin{aligned} &1 \in S \\ &n \in S \Rightarrow n + 1 \in S \end{aligned}$$ 则 $S = \mathbb{N}$.

最小数原理.

$S \subset \mathbb{N}, S \not= \emptyset$, 则 $S$ 中一定存在最小数.

证明:

因为 $S \not= \emptyset$, $\exists n \in S$
则 $S \cup \{1, 2, 3, \cdots\}$ 有限非空, 原命题成立.
由此我们可以得到一个重要的数学方法: 数学归纳法

数学归纳法.

设有命题 $A_n$, $n \in \mathbb{N}$满足:

1. $A_1$ 成立

2. $A_n$ 成立 $\Rightarrow A_{n+1}$ 成立

则 $\forall n \in \mathbb{N}, A_n$ 成立.

证明:

若存在 $S \not= \emptyset$ 使 $\forall m \in S$ 都使得 $A_m$ 不成立.
由最小数原理, 存在最小数 $r \in S$ 使 $A_r$ 不成立.
由于 $A_1$ 成立, $r \not= 1$, 因此$A_{r - 1}$ 成立, 得到 $A_{r}$ 成立, 即 $r \notin S$, 矛盾.

无限集合

有关定义

存在映射 $f: A \rightarrow B$, $\forall a, a^{'} \in A$.
如果 $a \not= a^{'}$, 则 $f(a) \not= f(b)$, 则称之为单射;
如果 $\forall b \in B, \exists a \in A$ 使得 $f(a) = b$, 则称之为满射;
如果 一个映射既使单射也是满射, 则称之为一一映射, 也称双射.

设有集合 $A, B$, 若 $A, B$ 之间存在双射, 则称二者拥有相同的基数,
若 $A, B$ 之间存在从 $A$ 到 $B$ 的非单射的的满射, 则称 $A$ 的基数大于 $B$ 的基数,
称 的基数是 "可数的", 若 $A$ 与 之间存在从 $A$ 到 $\mathbb{N}$的满射, 则称$A$是无限集合, 其基数也是"可数的", 若 $A$ 与 $\{1, 2, 3, \cdots\}$ 之间存在双射, 则称 $A$ 为有限集合, 基数为 $N$.

性质

若存在双射 $f: \mathbb{N} \rightarrow U$, 则 $U$ 一定可数;
有限集与可数集的并一定可数;
可数集与可数集的并一定可数;
可数个可数集的并一定可数.
因此我们知道, $\mathbb{Z} = \mathbb{N} \cup {0} \cup \mathbb{Z}_{-}$ 可数.

定义运算 $A \times B = \{(a, b) | a \in A, b \in B\}$, 若 $A, B$ 都可数, 则 $A \times B$ 可数.
定义一个集合 $A$ 的幂集 $2^{A}$ 为由该集合全部子集为元素构成的集合, 则若 $A$基数为 $n$, 则$2^{A}$ 的基数为 $2^n$. 定义 $2^{\mathbb{N}}$ 的基数为 "不可数的".

有理数

定义有理数 $\mathbb{Q} = \{ \dfrac {p}{q} | p, q \in \mathbb{Z}, q \not= 0 \}$. 有理数满足以下性质:

1. 可以进行加法、减法、乘法和除法运算;

2. 有序;

3. 基数可数;

4. 与实轴上的点一一对应;

5. 具有稠密性, 即$\forall a < b, a, b \in \mathbb{Q}, c = \dfrac{a+b}{2} \in \mathbb{Q}, a < c < b$.